A Korean solving American high school math questions.

Hello. I am Teacher JoJo, teaching mathematics in South Korea.

Today, I have brought a math test question from “The University of the State of New York Regents high school examination”.

This is from the 2023 exam, and it’s question number 30.

Would you like to give it a try?

[American high school math questions]

It’s a geometry question.

Take your time to think it through, and then compare your solution with the one I provide below.

[Solution]

Korean students can solve this problem when they are in the second year of middle school.

The concept of similar triangles is taught in the second year of middle school in Korea.

I’m not sure how this problem is typically approached in the United States.

However, Korean students solve it easily using the formula for similarity.

I’ll provide the mathematical formula commonly used in Korea.

---

{\color{red} (1) a^2 = c \times d}

(2) b^2 = c \times e

(3) h^2 = d \times e

(4) a \times b = c \times h

(5) a^2 +b^2 = c^2

---

If you were familiar with the mathematical formulas listed above, you could solve the problem directly using (1).

the answer is

\overline{CA^2} = \overline{AD} \times \overline{AB}

6^2 = 2 \times \overline{AB}

\therefore \overline{AB} = 18

finish.

But first, let’s prove how formula (1) is derived, and then we’ll conclude this question.

Let’s consider triangle ABH.
Let’s denote the angle BAH as x and the angle ABH as y.
Therefore, x + y = 90.

\angle BAH = x^\circ, \; \angle ABH = y^\circ

x^\circ + y^\circ = 90^\circ

Now, let’s look at triangle ABC.

We have established that angle ABH is y.

Therefore, we can say that angle ACB is x.

{\color{green}\angle ABC} +{\color{blue} \angle ACB} = 90^\circ

{\color{green}y^\circ} + {\color{blue} x^\circ} = 90^\circ

so, \triangle ABH \sim \triangle CBA \;\;\; (AA)

To apply the similarity law, I will draw two triangles.

Now, we can establish the proportion using the similar triangles.

\overline{AB} : \overline{BC} = \overline{BH} : \overline{BA}

a : c = d : a

c \times d = a^2

finish.

This is how you can prove it using this method.

If you were aware of this, the problem would have been easily solvable.

The proofs for (2) ~ (5) can also be demonstrated, but for today, we’ll stop here.

I hope you enjoyed solving another interesting math problem today.

I have postings on Korean math problems on my website.

Feel free to take a look if you’re interested.

A SAT Math Question Solved by a Korean #27

And by the way, I also have a YouTube channel.

https://www.youtube.com/channel/UCnJ-GLzfJdWjs04eQoxfY7g

[Korean ver]

안녕하세요. 저는 한국에서 수학을 가르치고있는 조조쌤입니다.

오늘은 미국 고등학생들이 풀었던 시험 문제를 가지고왔습니다.

2023년도에 풀었던 문제네요. 30번 문제입니다.

같이 보실까요?

[문제]

문제 설명)

주어진 삼각형에서 선분AC = 6, 선분AD =2 일때, 선분AB의 길이를 구하는 문제입니다.

직각인 부분도 문제에서 표시되어있네요. 그부분도 놓치시면 안됩니다.

그럼 문제를 풀어보시고 아래에있는 저의 풀이와 비교해보세요.

[풀이]

한국 학생이라면 중2때, 저런것을 배우죠.

기억 나십니까?

사실 공식을 알고있다면 바로 풀립니다.

혹시 모를수도있기에 공식을 소개해 드리도록 하겠습니다.

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{\color{red} (1) a^2 = c \times d}

(2) b^2 = c \times e

(3) h^2 = d \times e

(4) a \times b = c \times h

(5) a^2 +b^2 = c^2

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만약 위의 공식을 알고있다면 (1)번 공식을 사용하면 문제는 바로 풀립니다.

답은

\overline{CA^2} = \overline{AD} \times \overline{AB}

6^2 = 2 \times \overline{AB}

\therefore \overline{AB} = 18

끝났네요.

하지만 (1)번 공식이 왜그런지 아는것이 중요하겠죠?

(1)번이 왜 그런지 증명하고 오늘 포스팅을 마치겠습니다.

삼각형ABH를 보세요.

각BAH를 x, 각ABH를 y라고 하겠습니다.

그럼 x + y = 90 입니다.

\angle BAH = x^\circ, \; \angle ABH = y^\circ

x^\circ + y^\circ = 90^\circ

이제 삼각형ABC를 보시겠습니다.

각ABH를 아까 y라고 설정했습니다.

그럼 각ACB는 x 가 될수밖에 없습니다.

{\color{green}\angle ABC} +{\color{blue} \angle ACB} = 90^\circ

{\color{green}y^\circ} + {\color{blue} x^\circ} = 90^\circ

따라서 \triangle ABH \sim \triangle CBA \;\;\; (AA)

이렇게 두 삼각형이 닮음이라는 것을 알게되었고, 닮음을 이용해 비례식을 세워봅시다.

\overline{AB} : \overline{BC} = \overline{BH} : \overline{BA}

a : c = d : a

c \times d = a^2

이런식으로 (1)번 공식이 나오는 것이랍니다.

물론 외워두면 좋지만, 사람은 기억력이 한계가있죠.

언젠간 잊을 것입니다. 하지만 닮음 삼각형을 이용한다면, 공식을 잊어도 공식을 유도해낼수있을것입니다.

(2) ~ (5)번 공식은 오늘 증명하지는 않겠습니다.

오늘은 여기까지 하도록하죠.

그럼 이만.

열공하세요.