The Korean SAT question – related to logs
Hello, I’m Teacher Jojo, teaching mathematics in Korea.
Today, I’ve brought some practice questions for preparing for the Korean SAT.
These questions are intended for 2nd-year high school students.
If you’re familiar with logarithms, give them a try.
[The Korean SAT question – related to logs]
When three positive numbers, a, b, and c,
satisfy 2^a = 3^b = c, \; \; a^2 + b^2 = 2ab(a + b -1)
what is the value of \log_{6} c ?
…
…
…
…
There are various solution methods.
Try to showcase your skills.
Attempt to solve it and then compare it with my solution.
…
…
…
…
[Solution]
In this question, we need to find the value of c.
Let’s try to find the value of c using the given conditions in the question.
2^a = c, \longrightarrow a = \log_{2} c
3^b = c, \longrightarrow b = \log_{3} c
and, Let’s factorize the given equation to understand the relationship between a and b.
a^2 + b^2 = 2ab(a + b – 1)
a^2 + b^2 -2a^2b \; – \; 2ab^2 + 2ab = 0
Arrange in descending order with respect to a and then factorize.
(1 -2b)a^2 -2(b^2 \; – \; b)a + b^2 = 0
I’ve uploaded it as an image because it’s difficult to represent through typing.
Therefore, factorization is…
\{ (1 -2b)a + b \} (a +b) = 0
\therefore a + b = 0 \; \; or \; \; \{ ( \; 1 \; – \; 2b \; ) a \} \; + \; b \; = \; 0
However, a and b are both positive.
\cancel {a + b = 0}
\{ ( \; 1 \; – \; 2b)a \} \; + \; b \; = \; 0 must be equal to 0.
\therefore \; a + b = 2ab
b = a(2b \; – \; 1)
\cfrac {b}{2b \;- \;1} \; = \; a
Substitute {\color{green}a = log_{2} c} and {\color{green}b = log_{3} c} into the given equation.
\cfrac{\log_{3} c}{\log_{3} c^2 \; – \; 1} = \log_{2} c
\cfrac{log_{3} c}{log_{3} \frac{c^2}{3}} = log_{2} c
\log_{ \frac{c^2}{3}} c = \log_{2} c
\cfrac{c^2}{3} = 2
c^2 = 6
c = \pm \sqrt{6} but c > 0
\therefore \; c = \sqrt{6}
\log_{6} c = \log_{6} \sqrt{6} = \cfrac{1}{2}
the answer is {\color{red} \cfrac{1}{2}}
How did you find today’s problem?
There may be other methods besides this one.
Mathematics is fascinating because of its various approaches.
If you understand the properties of logarithms and factorization, you should have grasped my solution.
Please share your solutions in the comments.
For more math problems
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[Korean ver]
안녕하세요. 저는 한국에서 수학을 가르치고있는 조조쌤입니다.
오늘은 수학 모의고사 문제를 가지고왔습니다.
고등학교 2학년 수학문제입니다.
물론 지수, 로그에 대해서 아신다면 이문제를 풀 수 있을것입니다.
문제 같이 보실까요?
[문제]
풀이 방법은 다양할것 같습니다.
스스로 풀어보시고 아래에 있는 저의 풀이와 비교해보세요.
[풀이]
문제를 풀기 위해서 우리는 c의 값을 구해야합니다.
주어진 조건을 이용해 봅시다.
2^a = c, \longrightarrow a = \log_{2} c
3^b = c, \longrightarrow b = \log_{3} c
그리고 문제에서 주어진 식을 인수분해하여 간단하게 나타내 봅시다.
a^2 + b^2 = 2ab(a + b – 1)
a^2 + b^2 -2a^2b \; – \; 2ab^2 + 2ab = 0
인수분해 하기 위해서 a에 대해서 내림차순으로 정리합니다.
(1 -2b)a^2 -2(b^2 \; – \; b)a + b^2 = 0
인수분해를 하면
\{ (1 -2b)a + b \} (a +b) = 0 이렇게 됩니다.
\therefore a + b = 0 \; \; or \; \; \{ ( \; 1 \; – \; 2b \; ) a \} \; + \; b \; = \; 0
여기에서 a, b는 양수입니다.
따라서 \cancel {a + b = 0} 입니다.
\{ ( \; 1 \; – \; 2b)a \} \; + \; b \; = \; 0 이 식이 성립해야합니다.
\therefore \; a + b = 2ab
b = a(2b \; – \; 1)
\cfrac {b}{2b \;- \;1} \; = \; a
{\color{green}a = log_{2} c} 와 {\color{green}b = log_{3} c} 를 주어진 식에 대입합니다.
\cfrac{\log_{3} c}{\log_{3} c^2 \; – \; 1} = \log_{2} c
\cfrac{log_{3} c}{log_{3} \frac{c^2}{3}} = log_{2} c
\log_{ \frac{c^2}{3}} c = \log_{2} c
\cfrac{c^2}{3} = 2
c^2 = 6
c = \pm \sqrt{6} but c > 0
\therefore \; c = \sqrt{6}
\log_{6} c = \log_{6} \sqrt{6} = \cfrac{1}{2}
답은 {\color{red} \cfrac{1}{2}} 입니다.
오늘 문제 어땠나요?
로그 문제에 관한문제였는데 괜찮았습니까?
로그를 처음 배운학생이라면 어려울수도있을것같네요.
물론 이 풀이 말고도 다른 방법도 있답니다.
하지만 다른방법은 여기에 소개하지않았어요.
왜냐하면…그것은 여러분의 몫이니까요
그럼 전이만..
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