Quadratic Inequality Question – Korean Math

Hello. I’m JoJo, a teacher who teaches mathematics in Korea.

Today, I’ve brought a question related to quadratic inequalities.

If you have a good understanding of the relationship between quadratic functions and quadratic inequalities, give it a try.

[Quadratic Inequality Question]

Quadratic Inequality Question – Korean Math

What is the sum of all integer values of $m$ for which the quadratic inequality $x^2+(m+2)x+2m+1 > 0 \;$ holds true for all real numbers $x$ ?

…

Take your time to think it through.

Once you’ve solved it, you can check the solution provided below.

…

[Solution]

To solve this question, you need to understand the graph of a quadratic function.

For example, consider the graph $y = (x - 1)^2 + 2$ .

In this graph, for all values of $x$ ,

$y$ is always greater than $0$ .

Do you understand this?

It means that for all $x$ values, $y$ is always greater than $0$ when you putting them into the equation.

Now, let’s explain the general situation.

When you have a quadratic function of the form $y = ax^2+bx+c (a > 0)$ ,

the graph should be above the $x$ -axis for all $x$ -values to ensure that $y$ is always greater than $0$ .

For the graph to be like the one mentioned above, the Discriminant(D) must be less than $0$ .

${\color{blue}D < 0}$

If you don’t understand why the Discriminant(D) should be less than $0$ , you need to understand complex roots of quadratic equations.

I’ll briefly explain this in case someone is not familiar with it.

In the quadratic equation $ax^2+bx+c = 0$ , we use formula to find the $x$ .

The formula is $x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Here, if the value of $b^2 - 4ac$ is less than $0$ , then the root is imaginary.

If a quadratic equation has imaginary roots, it means there are no real values of $x$ that make $ax^2 + bx + c$ equal to $0$ .

Therefore, the graph of $y = ax^2 + bx +c$ does not intersect the $x$ -axis because there are no real values of $x$ that make $y$ equal to $0$ .

This is why the graph takes the shape of being above the $x$ -axis.

Now, let’s go back to the question.

In this question, since $y$ must be greater than $0$ for all $x$ -values, the Discriminant(D) must be less than $0$ .

Let’s apply the Discriminant(D).

${\color{blue}D = b^2 – 4ac}$ and ${\color{red}D < 0}$

$(m + 2)^2 -4 \times 1 \times (2m+1) < 0$

$m^2 - 4m < 0$

$m(m - 4) < 0$

$0 < m < 4$

The value of $m$ is an integer, and the question has asked for the sum of all possible values.

$1 + 2 + 3 = 6$

The answer is ${\color{red}6}$ .

[Conclusion]

How did you find today’s problem?

If you were familiar with quadratic functions and discriminants, it would have been easy.

If not, it might have been challenging.

I’ll come back with another interesting problem next time.

I have a collection of Korean math problems on my website.

Take a look!

Can you solve korean middle school math Question? – about Circle Question. #21

And I also have a YouTube channel.

You can find my YouTube channel is…

https://www.youtube.com/channel/UCnJ-GLzfJdWjs04eQoxfY7g

[Koran ver]

안녕하세요. 저는 한국에서 수학을 가르치고있는 조조쌤입니다.

오늘은 이차부등식에 관한 문제를 가져왔습니다.

모의고사 문제입니다.

한번 풀어보실까요?

[문제]

풀어보시고 아래에 있는 저의 해설과 비교해 보세요.

[해설]

이 문제를 풀기 위해서는 이차함수의 그래프의 개형과 그래프를 해석할수 있는 능력이 있어야합니다.

본 문제를 풀기전에 예를 하나 들어보겠습니다.

$y = (x - 1)^2 + 2$

이 함수는 모든 x에 대해서 y값이 모두 0보다 큽니다.

그래프를 그려서 볼까요?

이 그래프를 보고 모든x에대해서 y>0이라는것을 이해하셨다면 충분합니다.

이제 본 문제를 이야기 해보겠습니다.

이차함수 $y = ax^2+bx+c (a > 0)$ 가, 모든 x에 대해서 y값이 항상 양수이려면 어때야 할까요?

그래프 생김새가 다음과 같아야 할것입니다. 아래 그림을 보시죠.

이런 그래프 모양이 되려면.. 떠오르는것이 없나요?

판별식(D)가 떠올랐어야합니다.

판별식이 0보다 작아야합니다.

${\color{blue}D < 0}$

왜 판별식이 0보다 작아야하는지 모를수도 있기에 아래에 설명을 해보도록하겠습니다.

이차방정식 $ax^2+bx+c = 0$ 에서 해를 구할때, 근의 공식을 사용합니다.

근의 공식은

$x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 입니다.

여기서 $b^2 - 4ac$ 값이 0보다 작다면 해는 허근을 갖게됩니다.

이차방정식이 허근을 갖는다는것은 주어진 이차방정식의 실근을 갖게하는 x가 없다는 것이고,

$ax^2 + bx + c$ 값이 0이 되게하는 x가 없다는 뜻입니다.

결국 그래프를 생각하면 x축에 닿지 않는 그래프가 그려진다는 뜻이죠.

그래서 위의 그림처럼 그래프가 x축 위에 있는 상황이 된답니다.

이제 다시 문제로 돌아와서

이 문제에서 y값은 0보다 커야합니다.

따라서 그래프가 x축 위에 떠있는 상황이 되야합니다.

그래서 결국 판별식(D)가 0보다 작아야 한다는것을 알수있습니다.

판별식으로 식을 세워서 계산을 하면,

${\color{blue}D = b^2 – 4ac}$ and ${\color{red}D < 0}$

$(m + 2)^2 -4 \times 1 \times (2m+1) < 0$

$m^2 - 4m < 0$

$m(m - 4) < 0$

$0 < m < 4$

문제에서 m의 값은 정수라고 했기에 m값은 1, 2, 3 입니다.

$1 + 2 + 3 = 6$

The answer is ${\color{red}6}$ .

오늘 문제는 어땠나요?

사실 판별식과 이차함수그래프의 관계를 이해하고있다면 쉬운 문제였습니다.

만약 그것이 아니라면 풀기 어려웠을것입니다.

판별식과 이차함수의 관계를 모른다면 꼭 공부를 하시기를 바라겠습니다.

그럼 전 이만…