Can you solve korean middle school math Question? – about Circle Question.

Hello, I am JoJo, a math teacher in Korea.

Today, I have brought a math problem related to circles.

Do you know about circles well?

If so, let’s try to solve it together.

[Korean middle school Math Question]

Can you solve korean middle school math Question? – about Circle Question.

<Question Description>

“There is a circle.

\stackrel\frown{AB} : \stackrel\frown{BC} : \stackrel\frown{CA} = 3 : 4 : 5 ,\;\; \overline{AB}=4   

The intersections of the tangents at points A, B, and C are denoted as D, E, and F, respectively.

What is the length of \overline{EF}“

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Let’s take our time to think it through, and try solving it on your own.

Once you’ve completed it, you can check the solution provided below.

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[Solution]

First, let’s try to sketch the conditions given in the question.

We can determine the angles AOB, BOC, and COA using the ratios of chord lengths.

The size of a central angle is proportional to the length of the arc.

\angle AOB = 360^\circ \times \cfrac{3}{3+4+5} = 90^\circ

\angle BOC = 360^\circ \times \cfrac{4}{3+4+5} = 120^\circ

\angle COA = “You don’t need to find this value.”

\triangle AOB is a right triangle.

Since the length of \overline{AB} is 4, we can find the length of \overline{OA} .

\overline{AB}^2 = \overline{BO}^2 + \overline{AO}^2

4^2 = \overline{AO}^2 + \overline{AO}^2

4^2 = 2 \overline{AO}^2

16 = 2 \overline{AO}^2

2\sqrt{2} = \overline{AO}

{\color{blue} \overline{AO} = \overline{BO} = 2\sqrt{2}}

And we can also determine that \square ADBO is a square.

Therefore, the length of \overline{BD} is also 2 \sqrt{2}.

Now let’s look at \square BECO.

\angle B = \angle C = 90^\circ , \angle BOC = 120^\circ.

Therefore, \angle BEC = 60^\circ

\angle BEO = 30^\circ

tan 30^\circ = \cfrac{\overline{BO}}{\overline{BE}}

\overline{BE} = \cfrac{\overline{BO}}{tan 30^\circ} = 2\sqrt{2} \times \sqrt{3} = 2 \sqrt{6}

We’re almost there! Just a little more effort.

Next, let’s consider triangle DEF.

It’s a right triangle with \angle DEF = 60^\circ.

Since we know the length of \overline{DE}, we can use trigonometry to find \overline{EF}.

\overline{DE} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}

cos 60^\circ = \cfrac{\overline{DE}}{\overline{EF}}

\overline{EF} = \cfrac{\overline{DE}}{cos 60^\circ} = \overline{DE} \times 2 = (2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}) \times 2 = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{6}

{\color{red} \overline{EF} = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{6}}

…

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How did you find today’s math question?

Was it challenging?

There are multiple ways to approach it, and I’m curious about your solutions.

Please share your solutions in the comments.

Or if you encountered any difficulties while solving the math question, feel free to ask questions.

I have a collection of Korean math problems on my website.

Take a look!

Can you solve Korean SAT math Question? – quadratic function #20

And I also have a YouTube channel.

You can find my YouTube channel is…

https://www.youtube.com/channel/UCnJ-GLzfJdWjs04eQoxfY7g

[Korean ver]

안녕하세요. 저는 한국에서 수학을 가르치고있는 조조쌤입니다.

오늘은 원에 관한 수학 문제를 가지고왔습니다.

원에 대해서 자신있나요?

한번 풀어보실까요?

[문제]

원이 있습니다.

\stackrel\frown{AB} : \stackrel\frown{BC} : \stackrel\frown{CA} = 3 : 4 : 5 ,\;\; \overline{AB}=4 입니다.

점 A, B, C에서의 접선이 있습니다. 그 접선들의 교점은 각각 D, E, F로 나타냅니다.

선분EF의 길이는 무엇일까요?

[풀이]

주어진 문제상황을 그림으로 다시 그려볼까요?

각AOB, 각BOC, 각COA는 호의 길이에 비례한다는것을 알 수 있습니다.

\angle AOB = 360^\circ \times \cfrac{3}{3+4+5} = 90^\circ

\angle BOC = 360^\circ \times \cfrac{4}{3+4+5} = 120^\circ

\angle COA = 문제를 풀 때, 굳이 구할 필요가 없습니다.

\triangle AOB 이 직각삼각형이라는것을 알게되었습니다.

따라서 선분AB의 길이를 이용하여 선분OA의 길이를 구할수있습니다.

\overline{AB}^2 = \overline{BO}^2 + \overline{AO}^2

4^2 = \overline{AO}^2 + \overline{AO}^2

4^2 = 2 \overline{AO}^2

16 = 2 \overline{AO}^2

2\sqrt{2} = \overline{AO}

{\color{blue} \overline{AO} = \overline{BO} = 2\sqrt{2}}

그리고 사각형ADBO는 정사각형이라는것을 알게됩니다.

그러므로 선분BD의 길이는 2 \sqrt{2}라는것을 알 수 있습니다.

이제, 사각형BECO를 보시죠.

\angle B = \angle C = 90^\circ , \angle BOC = 120^\circ.

그러므로, \angle BEC = 60^\circ

\angle BEO = 30^\circ

tan 30^\circ = \cfrac{\overline{BO}}{\overline{BE}}

\overline{BE} = \cfrac{\overline{BO}}{tan 30^\circ} = 2\sqrt{2} \times \sqrt{3} = 2 \sqrt{6}

거의다 풀었습니다. 힘내시죠.

이제 삼각형DEF를 봅시다.

삼각형DEF는 직각삼각형이고 \angle DEF = 60^\circ 입니다.

우리는 선분DE의 길이를 알고있기 때문에 삼각비를 이용하여 선분EF의 길이를 구할수 있습니다.

\overline{DE} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}

cos 60^\circ = \cfrac{\overline{DE}}{\overline{EF}}

\overline{EF} = \cfrac{\overline{DE}}{cos 60^\circ} = \overline{DE} \times 2 = (2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}) \times 2 = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{6}

{\color{red} \overline{EF} = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{6}}

오늘 문제 어땠나요?

좀 복잡했죠?

그래도 한번 풀어보는겁니다.

복잡한걸 즐기시길 바라겠습니다.

하하하하

그럼 다음시간에 더 복잡한문제로 여러분의 머리를 혼란스럽게 만들어보도록 하겠습니다.

그럼 이만…