Can you solve Korean SAT math Question? – quadratic function

Hello, I’m Teacher JOJO.

I teach mathematics in Korea.

Today, I have brought math question for high school 1st graders to prepare for the university SAT.

These are question related to quadratic functions.

If you’re confident in your knowledge of quadratic functions, I hope you’ll give them a try.

I’ll show you the problem.

[Can you solve Korean SAT math Question]

Can you solve Korean SAT math Question? – quadratic function.

[Question Description]

The graph of a quadratic function $y=\cfrac{1}{2}(x-k)^2$ and the line $y=x$ intersect at two distinct points A and B.

Let’s denote the feet of the perpendiculars dropped from points A and B to the $x$ -axis as C and D, respectively.

If the length of segment CD is 6,

what is the value of the constant $k$ ?

…

Is the question difficult?

Take your time to think about it, and let’s review the solution provided below.

Give it a try!

…

[Solution]

First, let’s represent the problem situation on the coordinate plane.

$\overline{CD}=6$

Since the length of CD is 6,

if we set C as $(a,0)$ , we can say that the coordinates of D are $(a+6,0)$ .

We can set up a quadratic equation with the quadratic function $y=\cfrac{1}{2}(x-k)^2$ and $y=x$ .

The roots of the quadratic equation can be defined as $a$ and $a+6$ .

(You need to understand the relationship between the intersections of the graph and the roots of the quadratic equation.)

The roots of the $\cfrac{1}{2}(x-k)^2=x$ are $x = a,\; a+6$

Let’s simplify the quadratic equation.

${\color{blue} \cfrac{1}{2}(x-k)^2=x}$

$\cfrac{1}{2}(x^2-2kx+k^2)=x$

$x^2-2kx+k^2=2x$

${\color{blue} x^2-2(k+1)x+k^2=0}$

The roots of this quadratic equation are ${\color{blue}a}$ and ${\color{blue}a+6}$ .

When the quadratic equation is $ax^2+bx+c=0,\;\; x=\alpha,\beta$ .

By the relationship between the roots and coefficients,

the sum of the two roots is $– \; \cfrac{b}{a}\;$ and the product of the two roots is $\cfrac{c}{a}$ .

Therefore,

$a + a + 6 = 2(k+1) \cdots T$

$a \times (a + 6) = k^2 \cdots S$

$T \cdots 2a+4=2k, \;\; a+2=k$

$S \cdots a^2+6a=k^2$

Substitute $T$ into $S$ .

$a^2+6a=(a+2)^2$

$a^2+6a=a^2+4a+4$

$a=2$

Substitute $a=2$ into the $T$ .

$a + 2 = k, \;\; 2 + 2 = k$

${\color{red}k=4}$

How was the quesiton today?

You need to understand the intersection of graphs.

The intersection is the solution to the equations formed by the two graphs.

If you know this, solving the problem would have been easier.

Next time, we will have more interesting problems.

On my website, there are other fun problems besides this one.

Geometry Questions Involving Trigonometric Ratios -Korean math Question #19

Also, I have a YouTube channel.

My YouTube channel address is…

https://www.youtube.com/channel/UCnJ-GLzfJdWjs04eQoxfY7g

[Korean ver]

안녕하세요. 저는 한국에서 수학을 가르치고있는 조조쌤입니다.

오늘은 한국 고등학교 1학년 학생들이 푸는 모의고사 문제를 가지고왔습니다.

이 문제는 이차함수와 직선의 방정식을 이해하는 학생들이라면 도전해볼만 합니다.

한번 풀어보실까요?

[문제]

천천히 생각해서 풀어보세요. 그리고 아래에 나와있는 해설과 비교해보세요.

[해설]

우선 문제 상황을 그림으로 그려볼까요?

$\overline{CD}=6$ 입니다.

선분CD의 길이가 6이기 때문에,

점C의 좌표를 $(a,0)$ 이라 한다면, 점D의 좌표는 $(a+6,0)$ 입니다.

여기서 이차함수 latex] y=\cfrac{1}{2}(x-k)^2[/latex]과 일차함수 $y=x$ 의 교점의 x좌표가 a, a+6이라는것을 알 수 있습니다.

(그래프의 교점을 구할때, 두 함수를 이용하여 구할수있다는것을 이해하고있었어야 합니다.)

$\cfrac{1}{2}(x-k)^2=x$ 의 근은 $x = a,\; a+6$ 입니다.

주어진 식을 정리하면

${\color{blue} \cfrac{1}{2}(x-k)^2=x}$

$\cfrac{1}{2}(x^2-2kx+k^2)=x$

$x^2-2kx+k^2=2x$

${\color{blue} x^2-2(k+1)x+k^2=0}$

이 이차방정식의 근은 $a, a+6$ 입니다.

근과 계수와의 관계를 알고있어야합니다.

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ 의 근이 $x=\alpha,\beta$ 일때,

두 근의 합은 $– \; \cfrac{b}{a}\;$ , 두 근의 곱은 $\cfrac{c}{a}$ 입니다.

그러므로

$a + a + 6 = 2(k+1) \cdots T$

$a \times (a + 6) = k^2 \cdots S$

$T \cdots 2a+4=2k, \;\; a+2=k$

$S \cdots a^2+6a=k^2$

$T$ 를 $S$ 에 대입합니다.

$a^2+6a=(a+2)^2$

$a^2+6a=a^2+4a+4$

$a=2$

$a = 2$ 를 $T$ 에 대입합니다.

$a + 2 = k, \;\; 2 + 2 = k$

${\color{red}k=4}$

오늘 문제는 어땠나요?

할만했나요?

고1 모의고사 문제였지만 교점을 구하는것과 교점이 방정식과 어떤 관련이있는지, 근과 계수와의 관계까지 이해하고있었다면 충분히 해볼만합니다.

물론 어려울수도있지요.

이러한 유형을 자주 접하다보면 잘 할것입니다.

파이팅하세요!