Hard korean middle school math question – Would you like to give it a try?
Hello, I’m JoJo. I teach mathematics in Korea.
Today, This is a question for Korean middle school students to solve. I think this question is hard.
Let’s take a look at the question.
[Hard korean middle school math question]
Hard korean middle school math question – Would you like to give it a try?
There are three circles O, P, and Q, with a radius of 1, tangent to points B and C.
Point G on \overline{AG} is tangent to circle Q.
Points A, O, P, Q, and D are collinear.
Find the length of \overline{EF}.
…
…
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…
…
[Solution]
It is hard korean middle school math question.
Take some time to think about it on your own, and then look at the explanation below.
The key points to solve this question are understanding the center of a circle and a chord.
Additionally, you need to utilize the concept of similar triangles.
First, let’s draw an auxiliary line.
Draw a perpendicular from point P to line EF, and let the foot of the perpendicular be point H.
Also, draw lines from point P to points E and F.
Now, \triangle EPH becomes a right triangle.
We will use the Pythagorean theorem to find the length of \overline{EH}.
Finally, double that length to obtain the length of \overline{EF}.
\overline{EP}^2 = \overline{PH}^2 + \overline{EH}^2
1^2 = {\color{red}\overline{PH}^2} + \overline{EH}^2
Then, how do we find the length of {\color{red}\overline{PH}}?
We need to use the concept of similar triangles.
Can you see the similar triangles? Let’s connect point G to point Q.
\triangle APH \sim \triangle AQG
They share \angle A
and \angle AHP = \angle AGQ = 90^\circ.
It’s an AA similarity.
Let’s redraw the two similar triangles.
We can use the similarity of triangles to find the length of \overline{PH}.
\overline{AP} : \overline{PH} = \overline{AQ} : \overline{QG}
3 : \overline{PH} = 5 : 1
\overline{PH} = \cfrac{3}{5}
Finally, we can use the Pythagorean theorem to find the length of EF.
\overline{EP}^2 = \overline{PH}^2 + \overline{EH}^2
1^2 = \left( \cfrac{3}{5} \right)^2 + \overline{EH}^2
\overline{EH} = \cfrac{4}{5}
\overline{EF} = 2\times\overline{EH} = 2\times \cfrac{4}{5} = \cfrac{8}{5}
{\color{red}\overline{EF}= \cfrac{8}{5}}
How was the question today?
Were you able to solve it on your own?
I will bring more interesting questions next time.
And if you come across a question you don’t know while studying, feel free to ask me in the comments.
Also, I posted another math question before. Give it a try and solve that question as well.
See you next time!
My youtube address.
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[Korean ver]
안녕하세요. 저는 한국에서 수학을 가르치고있는 조조쌤입니다.
오늘은 한국 중학교 수학문제를 가져왔습니다.
난이도가 좀 있네요.
문제 보실까요?
[문제]
세 원O, P, Q가 있다. 각각의 반지름은 1이다. 점B와 점C는 접점이다.
점G는 원Q를 지나는 직선AG의 접점이다.
점A, O, P, Q, D는 한 직선위의 점이다.
선분EF의 길이는?
충분히 생각해보고 아래에 나와있는 해설을 보세요.
[해설]
이 문제는 어렵습니다.
이 문제를 해결하는 핵심은 원의 중심과 접선의 개념을 이해하는 것입니다.
또한, 닮은 삼각형의 개념도 알고있어야 합니다.
먼저, 보조선을 그려봅시다.
점 P에서 선분EF로 수선을 그리고, 그 수선의 발을 점 H라고 합시다.
또한, 점 P에서 점 E와 F로 선을 그려봅시다.
\triangle EPH 은 직각 삼각형이다.
피타고라스를 이용하여 \overline{EH}의 길이를 구하려고 합니다.
그러고나서 \overline{EH} \times 2를 하면 답이 나옵니다.
\overline{EP}^2 = \overline{PH}^2 + \overline{EH}^2
1^2 = {\color{red}\overline{PH}^2} + \overline{EH}^2
그런 다음, {\color{red}\overline{PH}}의 길이는 어떻게 구할까요?
여기서 삼각형의 닮음을 이용해야 합니다.
닮은 삼각형이 보이나요?
점P에서 점H, 점Q에서 점G를 연결해봅시다.
\triangle APH \sim \triangle AQG
\angle A는 공통, \angle AHP = \angle AGQ = 90^\circ
AA 닮음입니다.
아래에 나와있는 두개의 삼각형을 봅시다.
닮음을 이용하여 선분PH의 길이를 구할수있습니다.
\overline{AP} : \overline{PH} = \overline{AQ} : \overline{QG}
3 : \overline{PH} = 5 : 1
\overline{PH} = \cfrac{3}{5}
마지막으로 피타고라스를 이용하여 선분EF의 길이를 구합니다.
\overline{EP}^2 = \overline{PH}^2 + \overline{EH}^2
1^2 = \left( \cfrac{3}{5} \right)^2 + \overline{EH}^2
\overline{EH} = \cfrac{4}{5}
\overline{EF} = 2\times\overline{EH} = 2\times \cfrac{4}{5} = \cfrac{8}{5}
{\color{red}\overline{EF}= \cfrac{8}{5}}
오늘의 문제는 어떠셨나요?
스스로 풀 수 있었나요?
다음에는 더 재미있는 문제를 가져올게요.
공부중에 모르는 문제를 있다면 언제든 댓글로 질문해주세요.
또한, 이 사이트에 다른 수학 문제들도 있습니다. 그 문제도 한 번 풀어보세요.
다음에 뵐게요!
그리고 제 유튜브 주소입니다.
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