Hello, I’m Jojo teacher.

Today I have brought a math question from Korean high school 1st grade.

This question is about finding the minimum value of a given equation.

If you are familiar with the concept of minimum value in quadratic equations, let’s give it a try.

[Can you solve korean high school math question?]

Let me interpret this question for you. For real numbers x and y,

find the minimum value of \mathbf{x^2-6x+2y^2+4y+8 }.

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It’s a good idea to think about it on your own before looking at the solution.

You can do it! Challenge yourself!

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[Solution]

The key to this question is being able to find the minimum value of a quadratic equation.

However, many students struggle with how to approach the question.

Let me explain the question in a way that you can understand.

The value of the given equation changes as x and y vary.

For which values of x and y does the given equation yield the smallest value?

This is what you need to think about.

…

Now, Let’s start the explanation.

…

When the equation x^2-6x+2y^2+4y+8 is given and x varies, the changing part is x^2-6x.

As y varies, the changing part is 2y^2+4y .

The value 8 is a fixed, unchanged value.

Therefore, we need to find the minimum value of x^2-6x.and 2y^2+4y .

Let’s start by finding the minimum value of x^2-6x.

We need to transform the equation to make it easier to find the minimum value.

In Korea, we refer to it as a “perfect square expression,” but I’m not sure how it’s expressed in other countries.

x^2-6x \longrightarrow (x-3)^2-9 .

When (x-3)^2 reaches its minimum value, (x-3)^2-9 becomes the minimum.

When x is 3, it attains the minimum value of -9.

In conclusion, the minimum value of x^2-6x is -9.

Let’s apply the same method to find the minimum value of 2y^2+4y .

2y^2+4y \longrightarrow 2(y^2+2y) \longrightarrow 2(y+1)^2-2

When 2(y+1)^2 reaches its minimum value, 2(y+1)^2-2 becomes the minimum.

When y is -1, it attains the minimum value of -2.

In conclusion, the minimum value of 2y^2+4y is -2.

Let’s wrap it up.

{\color{blue}x^2-6x}+{\color{red}2y^2+4y}+8

={\color{blue}(x-3)^2-9}+{\color{red}2(y+1)^2-2}+8

={\color{blue}-9}+{\color{red}-2}+8

=-3

The given equation attains its minimum value when x = 3 and y = -1

The answer is -3.

[conclusion]

Today’s question was about understanding how the given equation changes as x and y vary.

I hope my explanation helped you understand it.

Also, if you have any math questions that you couldn’t solve while studying, feel free to share them in the comments.

I can give them a try.

Also, I posted another math question before. Give it a try and solve that question as well.

And I’ll share my YouTube address with you as well. Feel free to drop by when you’re bored.

https://www.youtube.com/channel/UCnJ-GLzfJdWjs04eQoxfY7g

[Korean ver]

안녕하세요, 저는 조조쌤입니다.

오늘은 한국 고등학교 1학년 수학 문제를 가져왔습니다.

이 문제는 주어진 방정식의 최솟값을 찾는것입니다.

만약 이차방정식에서 최솟값을 구할수있다면 도전해보세요.

[문제]

충분히 생각해보고 아래의 풀이를 보세요.

할 수 있습니다! 아자!

[해설]

이 문제의 핵심은 이차방정식의 최솟값을 찾는 것입니다.

그러나 많은 학생들이 이 문제를 접근하는것조차 어려워합니다.

이해하기 쉬쉽게 문제를 설명해 보겠습니다.

주어진 식의 값은 x와 y가 변할 때 주어진 식의 값 또한 변합니다.

주어진 식이 가장 작은 값을 얻기 위해 x와 y의 어떤 값이어야 할까요?

이것이 여러분들이 생각해야 할 부분입니다.

이제, 설명을 시작해보겠습니다.

주어진 식 x^2-6x+2y^2+4y+8 에서 latex] x [/latex]값이 변할때, x^2-6x.이 값이 변하게 됩니다.

또한, y 값이 변할 때, 2y^2+4y 이 값이 변하게 됩니다.

상수 8은 고정된 값입니다. x, y 가 변해도 변하지 않는 값입니다.

그러므로 우리는 x^2-6x.과 2y^2+4y 의 최솟값을 찾으면 됩니다.

x^2-6x 의 최솟값부터 찾아봅시다.

완전제곱식을 사용하여 해결합니다.

x^2-6x \longrightarrow (x-3)^2-9 .

(x-3)^2의 값이 최소가 될때, (x-3)^2-9의 값이 최소가됩니다.

{\color{blue}x가 3 일때, 최솟값 -9를 갖습니다.}

같은 방법으로 y에 대한식도 풀면됩니다.

2y^2+4y \longrightarrow 2(y^2+2y) \longrightarrow 2(y+1)^2-2

2(y+1)^2 의 값이 최소가된다면 2(y+1)^2-2 의 값도 최소가 됩니다.

{\color{blue}y = -1 일때, 최솟값 -2를 갖습니다.}

한번 더 정리해서 식을 써봅시다.

{\color{blue}x^2-6x}+{\color{red}2y^2+4y}+8

={\color{blue}(x-3)^2-9}+{\color{red}2(y+1)^2-2}+8

={\color{blue}-9}+{\color{red}-2}+8

=-3

x = 3, y = -1 일때, 주어진식은 최솟값 -3을 갖습니다.

{\color{red} 정답은 -3 }

[결론]

오늘의 문제는 x와 y가 변할 때 주어진 식의 값이 어떻게 변하는지를 이해해야하는 문제였습니다.

제 설명이 도움이되었기를 바랍니다.

또한, 공부하면서 풀지 못한 수학 문제가 있다면 언제든지 댓글로 남겨주세요.

제가 한번 도전해보겠습니다.

그리고 제 사이트에는 다른 수학 문제들도 있습니다.

한번 구경하고 가세요.

그리고 제 유튜브 주소도 남깁니다.

https://www.youtube.com/channel/UCnJ-GLzfJdWjs04eQoxfY7g