Can you solve this geometric Question?

Hello, I’m Jojo, a math teacher from Korea.

Today, I brought a geometric Question.

This Question is for 2nd-year middle school students in Korea.

Would you like to give it a try?

[Question]

There is a point P inside rectangle ABCD.

\overline{BP}=2, \; \overline{CP}=5, \; \overline{AP}=x, \; \overline{DP}=y

y^2-x^2 = \; ?

Can you solve this geometric Question?

…

…

…

Take your time to think about it, and then take a look at the solution provided below.

…

…

…

[Solution]

To solve this Question, you need to be familiar with the Pythagorean theorem.

Of course, there may be other methods as well.

However, I will use the Pythagorean theorem for this solution.

Let’s draw perpendicular lines from point P to each side of the rectangle.

Let’s label those points as E, F, G, and H, respectively.

Then, the following Pythagorean theorem applies.

This part might be a bit challenging. Take your time to understand it.

\overline{AE}^2 + \overline{EP}^2 = \overline{AP}^2 \; \cdots \mathbb{A}

\overline{BF}^2 + \overline{FP}^2 = \overline{BP}^2 \; \cdots \mathbb{B}

\overline{CG}^2 + \overline{GP}^2 = \overline{CP}^2 \; \cdots \mathbb{C}

\overline{DH}^2 + \overline{HP}^2 = \overline{DP}^2 \; \cdots \mathbb{E}

Add the lengths of sides \mathbb{A} and \mathbb{C} together.

{\color{red}\overline{AE}^2 + \overline{EP}^2} + {\color{blue}\overline{CG}^2 + \overline{GP}^2} = {\color{red}\overline{AP}^2} + {\color{blue}\overline{CP}^2}

If we change the order of addition on the left side,

\overline{AE}^2 + \overline{GP}^2 + \overline{EP}^2 + \overline{CG}^2 = \overline{AP}^2 + \overline{CP}^2

Apply the Pythagorean theorem to each pair of terms on the left side.

\overline{AE}^2 + \overline{GP}^2 = \overline{DG}^2 + \overline{GP}^2 = \overline{DP}^2

\overline{EP}^2 + \overline{CG}^2 = \overline{EP}^2 + \overline{BE}^2 = \overline{BP}^2

The final result is…

\overline{PD}^2+\overline{BP}^2 = \overline{AP}^2 + \overline{CP}^2

y^2 + 2^2 = x^2 + 5^2

y^2 – x^2 = 25 – 4

The answer is {\color{red}21}

How was the Question today?

Was it easy?

You need to use the Pythagorean theorem effectively.

It can be challenging to solve without learning it.

However, once you learn it, the next time will be easier.

If you’re curious about other problems, please check out my other posts.

Can you solve this complex number math Question? – korean math #15

See you next time.

Goodbye!

My youtube is https://www.youtube.com/channel/UCnJ-GLzfJdWjs04eQoxfY7g

[Korean ver]

안녕하세요. 저는 한국에서 수학을 가르치고있는 조조쌤입니다.

오늘은 도형문제를 가지고왔습니다.

이 문제는 한국 중학교 2학년 학생들이 푸는 문제입니다.

한번 풀어보실래요?

[문제]

점P는 사각형ABCD 내부의 임의의 한 점 입니다.

\overline{BP}=2, \; \overline{CP}=5, \; \overline{AP}=x, \; \overline{DP}=y 일 때,

y^2-x^2 = \; ?

천천히 생각해보세요. 직접 풀어보고 아래에 나와있는 풀이와 비교해보세요.

[풀이]

이 문제를 풀기위해서는 피타고라스의 정리를 알아야합니다.

물론 다른 방법도 있겠지만 저는 피타고라스를 이용하여 풀것입니다.

점P에서 직사각형의 각 변에 수선을 내려보도록 하겠습니다.

그 수선의 발을 점E, F, G, H라고 하겠습니다.

여기에 많은 직각 삼각형이 보일것입니다.

직각삼각형으로 피타고라스의 정리를 이용하여 이런 식을 세울수있습니다.

\overline{AE}^2 + \overline{EP}^2 = \overline{AP}^2 \; \cdots \mathbb{A}

\overline{BF}^2 + \overline{FP}^2 = \overline{BP}^2 \; \cdots \mathbb{B}

\overline{CG}^2 + \overline{GP}^2 = \overline{CP}^2 \; \cdots \mathbb{C}

\overline{DH}^2 + \overline{HP}^2 = \overline{DP}^2 \; \cdots \mathbb{E}

\mathbb{A} 식과 \mathbb{C} 식을 더하면,

{\color{red}\overline{AE}^2 + \overline{EP}^2} + {\color{blue}\overline{CG}^2 + \overline{GP}^2} = {\color{red}\overline{AP}^2} + {\color{blue}\overline{CP}^2}

좌변에서 덧셈의 교환법칙을 이용하여 식을 살짝 변형시키면,

\overline{AE}^2 + \overline{GP}^2 + \overline{EP}^2 + \overline{CG}^2 = \overline{AP}^2 + \overline{CP}^2

이 식은 다른 변의 길이로 대체 할 수 있습니다.

다른 변의 길이로 표현하면,

\overline{AE}^2 + \overline{GP}^2 = \overline{DG}^2 + \overline{GP}^2 = \overline{DP}^2

\overline{EP}^2 + \overline{CG}^2 = \overline{EP}^2 + \overline{BE}^2 = \overline{BP}^2

따라서 최종적으로 얻을 수 있는 식은,

\overline{PD}^2+\overline{BP}^2 = \overline{AP}^2 + \overline{CP}^2

y^2 + 2^2 = x^2 + 5^2

y^2 – x^2 = 25 – 4

결국 정답은 {\color{red}21} 입니다.

오늘 문제는 어땠나요?

피타고라스의 정리를 몰랐다면 풀기가 어려웠으리라 생각됩니다.

또한, 피타고라스를 이용하여 저런 관련성을 혼자서 알아낸다는것은 쉽지않습니다.

보통 학생들도 선생님의 설명을 먼저듣고 난 후, 저런식을 만들어냅니다.

못풀었다고해서 너무 기죽지마세요.

처음에는 어렵답니다.

하지만 다음에 유사한문제가 나왔을 때, 맞히시길바라겠습니다.

그럼이만 바이바이.

https://www.youtube.com/channel/UCnJ-GLzfJdWjs04eQoxfY7g